线性代数示例

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 1.1

通过指数相加将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $a^{2}$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

对 $a$ 进行 $1$ 次方运算。

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2} a^{1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{2 + 1} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$[\begin{array}{c} a & a & 1 - a & 1 \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.2

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{a}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{a}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{a}{a} & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.2.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a & a^{3} & 1 - a^{2} & 1 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.3

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.3.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - a R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ a - a \cdot 1 & a^{3} - a \cdot 1 & 1 - a^{2} - a \frac{1 - a}{a} & 1 - a \frac{1}{a} \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.3.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a & a + a^{2} & 2 - 2 a & a + 2 \end{array}]$

解题步骤 1.4

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.4.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & a + a^{2} - 2 a \cdot 1 & 2 - 2 a - 2 a \frac{1 - a}{a} & a + 2 - 2 a \frac{1}{a} \end{array}]$

解题步骤 1.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & a^{3} - a & - a^{2} + a & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

解题步骤 1.5

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{a^{3} - a}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{a^{3} - a}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ \frac{0}{a^{3} - a} & \frac{a^{3} - a}{a^{3} - a} & \frac{- a^{2} + a}{a^{3} - a} & \frac{0}{a^{3} - a} \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

解题步骤 1.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & a^{2} - a & 0 & a \end{array}]$

解题步骤 1.6

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.6.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - (a^{2} - a) R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 - (a^{2} - a) \cdot 0 & a^{2} - a - (a^{2} - a) \cdot 1 & 0 - (a^{2} - a) (- \frac{1}{a + 1}) & a - (a^{2} - a) \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 1.6.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{a (a - 1)}{a + 1} & a \end{array}]$

解题步骤 1.7

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{a + 1}{a (a - 1)}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot 0 & \frac{a + 1}{a (a - 1)} \cdot \frac{a (a - 1)}{a + 1} & \frac{a + 1}{a (a - 1)} a \end{array}]$

解题步骤 1.7.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{a + 1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 1.8

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.8.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + \frac{1}{a + 1} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & 1 + \frac{1}{a + 1} \cdot 0 & - \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{a + 1} \cdot 1 & 0 + \frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 1.8.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & \frac{1 - a}{a} & \frac{1}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 1.9

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.9.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{1 - a}{a} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & 1 - \frac{1 - a}{a} \cdot 0 & \frac{1 - a}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot 1 & \frac{1}{a} - \frac{1 - a}{a} \cdot \frac{a + 1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 1.9.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{a + 2}{a} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 1.10

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 1.10.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{a + 2}{a} - \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 1.10.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{a^{2} - 2}{a (a - 1)} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{1}{a - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{a + 1}{a - 1} \end{array}]$

解题步骤 2

主元位置是每行中以 $1$ 开头的位置。主元列是含主元位置的列。

主元位置： $a_{11}, a_{22},$ 和 $a_{33}$

主元列： $1, 2,$ 和 $3$

线性代数 示例

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